第114章 數學系的圣遺物
因為哥廷根是大學城，這里一到圣誕節前后就空空蕩蕩。
在60年代，這里常駐人口12萬左右，其中學生數量就有3萬人。
其中外地學生至少七成。
今年和往年不一樣，今年的哥廷根比往年要熱鬧一些。
世界各地的數學家都先飛機到法蘭克福然后火車前往哥廷根。
如果說整個城市要熱鬧一些，那哥廷根本地報紙以及哥廷根所在下薩克森州的區域電視臺用熱鬧非凡來形容毫不為過。
1965年，西德的電視廣播主要由公共廣播聯盟（ARD）和第二德意志電視（ZDF）組成。
其中ARD由多個區域廣播公司組成，每個公司覆蓋一個或多個聯邦州，提供全國性節目和區域性節目。
NDR的第三頻道就專門服務于下薩克森州等地區。
所有和此次林燃回哥廷根有關的新聞，都事無巨細作為本地新聞報道。
就差打出教授，歡迎回家的橫幅了。
“福克斯，還好你們提前聯系我了，不然現在在哥廷根很難找到足夠的酒店，尤其像房間號是223、227這樣的房間更是被瘋搶。”多伊林帶著哥倫比亞大學一行人前往哥廷根大學的學生宿舍。
提前帶隊趕到哥廷根的福克斯壓根就沒想過要找酒店住，他直接聯系上了多伊林，麻煩他們幫忙安排學生宿舍。
因為福克斯很清楚，做研究，尤其是涉及到突破，那肯定是廢寢忘食，壓根不可能像普通講座那樣，講四個小時就休息。
百分百是不間斷的馬拉松。
林燃不間斷，他們作為觀眾，肯定也不能間斷。
得從頭聽到尾。
那么在這種情況下，住的地方好壞就不重要了，有個落腳地最重要。
福克斯想的就是，最好的落腳點肯定就是哥廷根大學的學生宿舍。
至于兩個人擠一間房，這壓根就不重要。
他甚至都沒打算要回宿舍，福克斯和他帶隊的數學教授們人手一個睡袋。
大家的計劃是直接現場把睡袋往地上一鋪直接睡。
有個學生宿舍作為落腳地，無非是有備無患而已。
福克斯聽到多伊林這樣說，數學家的敏銳度還是夠的：“因為倫道夫要證明孿生素數猜想，所以這些素數門牌號的房間被瘋搶是吧。”
他一下就找到這兩個數字的特點，都是素數。
多伊林苦笑道：“不僅如此。”
他把林燃在倫敦的所作所為，關于克拉里奇酒店素數悟道的想法說給福克斯聽。
這也是還在倫敦的西格爾給他轉述的，然后多伊林當成趣聞傳播了出去。
被本地媒體報道出去。
符合條件的房間本來就少，加上這個時間點，導致257和523被定完了，然后其他13個數字重復的三位數孿生素數門牌號的房間也被瘋搶。
福克斯聽完后笑道：“我感覺這以后會變成數學家傳統。
像明年的國際數學家大會，主辦方給大家定酒店，大家肯定都想住257和523房間，其次是223、227這樣的。”
多伊林苦笑道：“沒錯，這還是建立在教授沒證明孿生素數猜想的前提下。
如果他這次真的成功了，那孿生素數房間有助于思考，大家要深信不疑了。”
福克斯笑道：“看來我回哥倫比亞的第一件事就是把數學系門牌號全部都改成素數，這樣大家就不會爭了。
只是這樣的素數有限，到時候大家辦公室門牌號越來越長。”
多伊林說：“還是教授的影響力太大，哥廷根本地的報紙都調侃，說現在的哥廷根，一塊磚頭下去能砸到一片數學家。”
1965年1月4日下午，哥廷根火車站人頭攢動。
林燃從倫敦乘火車中轉兩趟抵達哥廷根，跟著他身邊的是西格爾和珍妮以及西德的高官，前面有安保人員開道，后面也有安保人員。
火車站四處都能看見警察。
哥廷根火車站的安保從來沒有如此完善過。
來迎接他的是哥廷根大學的校長奧托·庫默爾，數學系主任多伊林和幾位老教授。
車站外，學生志愿者舉著歡迎牌，整個西德乃至歐洲的記者云集，手持筆記本，記錄這一歷史時刻。
“教授，我很期待見證你的奇跡。”奧托握手后說道。
多伊林接著：“教授，舞臺已經搭好了，就等著看你表演了，整個哥廷根都已經迫不及待了。”
講座在哥廷根大學的主樓大禮堂舉行，這座18世紀的古典建筑以其穹頂和雕花柱子聞名，可容納500人。
根據哥廷根大學歷史，大禮堂常用于重要學術活動，如諾貝爾獎得主演講。
1965年1月5日這天，禮堂座無虛席，額外觀眾擠滿走廊，大學在附近教室設置揚聲器轉播，并在庭院安排臨時座位，供學生和無法入場的學者聆聽。
除了這些外，哥廷根本地的電視臺架起了攝像頭，打算全程直播。
禮堂內，舞臺中央是密密麻麻的黑板，只有黑板。
“女士們、先生們，讓我們先以熱烈的掌聲歡迎倫道夫·林回到哥廷根。”奧托說。“哥廷根是教授的母校，我們以培養了倫道夫·林這樣優秀的學生而感到驕傲和自豪，接下來的時間讓我交給倫道夫。”
林燃低聲和西格爾說了句：“教授，記錄的事情就交給你了。”
西格爾點頭，“沒問題。”
林燃走上舞臺，臺下響起山呼海嘯般的掌聲。
等到掌聲平息后，林燃說：
“女士們，先生們，尊敬的同僚們，親愛的朋友們，早上好！
能回到哥廷根，這片孕育了我數學夢想的土地，我感到無比榮幸。站在這個大禮堂，我仿佛又回到了學生時代，那時我在這兒聽希爾伯特的繼承者們講授數論，熬夜鉆研歐幾里得的證明，試圖窺探素數的奧秘。
當然，那時的我從未想過，自己能夠證明費馬猜想，能夠提出倫道夫綱領，更沒有想過，有一天我會站在這里，試圖挑戰：孿生素數猜想。
從希爾伯特教授在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出后，距今已經整整65年。”
林燃轉身，在黑板上寫下“3，5”、“5，7”、“11，13”，然后轉回身，目光掃過觀眾，語氣變得鄭重。
“這些數字，你們都認識。
它們是孿生素數，差為2的素數對。
它們看似簡單，卻隱藏著前人的猜測：是否存在無限多的這樣的對？
這個問題最早可以追溯到古希臘，歐幾里得證明了素數的無限性，但對于孿生素數，他留給了我們一個未解之謎。
時間快進到19世紀，數學家們開始認真思考這個問題。
1849年，阿爾豐斯·德·波利尼亞克提出了一個更廣義的猜想，斷言對于任意偶數k，存在無限多素數對p和p′使得p′pkp'pkp′pk。
當k2，這就是我們的孿生素數猜想。”
林燃接著在黑板上寫下p′p2p'p2p′p2
“這一猜想看似直觀，數論總是這樣，非常直觀，問題每個人都能看懂，但在數學的嚴謹世界里，它就像一座難以攀登的高峰。”
林燃的語速很快，用的是英語，標準英語讓在座每一位學者都能聽清。
德意志人對德語沒有法蘭西人那么堅持。
林燃轉為沉思，步伐放慢，雙手背在身后，目光投向禮堂深處，仿佛在追溯歷史。
“到了20世紀初，數學家們開始用更強大的工具攻克素數分布的問題。1919年，挪威數學家維戈·布倫取得了突破。
他發明了一種被稱為布倫篩的技術，證明了孿生素數的倒數之和是收斂的。”
林燃接著在黑板上寫道：
“這意味著什么？與所有素數的倒數是發散的相比，孿生素數是如此稀疏，以至于它們的倒數和竟然不會趨向無窮。
布倫的定理告訴我們，孿生素數不像普通素數那樣常見。它們的稀疏性讓證明無限性變得異常困難。但這不正是數學的魅力嗎？當我們面對一個看似不可能的問題時，我們的創造力才會被真正激發。”
倫道夫走向講臺一側，拿起一杯水小啜一口，目光掃過臺下。
記者在角落里低聲討論，試圖捕捉林燃的每一句話。
禮堂內的氣氛從緊張轉為期待，觀眾們被他的敘述帶入了素數世界。
“布倫的工作雖然沒有證明猜想，但他為我們指明了方向。哈代和利特爾伍德后來用圓法提供了啟發式支持，估計孿生素數對的數量近似于(log)2C(logx)2x，其中是孿生素數常數，約為1.32032。”
林燃接著在黑板上寫下公式。
“但這些都是概率性的預測，離真正的證明還很遠。
今天，我站在這里，不是要重復這些預測，而是要向你們展示一個可能的答案——一個用解析數論和篩法結合的證明，試圖揭開孿生素數猜想的面紗。
接下來的六天，我們將一起踏上這場旅程。
從素數的分布到篩法的精妙，再到解析數論的深奧工具，我希望能說服你們，這個猜想不再是猜想，而是定理。
當然，我知道你們中有很多人，尤其是哥廷根的教授們，會用最嚴苛的標準審視我的證明。
這正是我期待的！讓我們開始吧！”
臺下的觀眾們都在鼓掌，西格爾也是如此，不過他和其他人想法不同，他的感覺更加奇特了。
西格爾教授很確定，這就是林燃在補完他曾經沒能在哥廷根大學做的畢業論文答辯。
他坐直了身子，心想“倫道夫，讓我來見證你的傳奇吧，用行動證明哥廷根學派沒有消亡，它因為有你而會變得更加輝煌。”
林燃轉身，在黑板上寫下Day1。
從寫下Day1開始，在座的學者們就有種狂飆突進的感覺。
因為林燃的速度太快了。
林燃要先掏出張益唐的結果，也就是存在無限多素數對，其差小于7000萬，然后再掏出陶哲軒的改進版結果，把這個差值從7000萬縮小到246.
但他不能直接用張益唐的結果。
因為張益唐的論文是建立在GPY篩法和Bombieri，Friedlander和Iwaniec關于素數算術級數分布的4/7水平結果的基礎上。
這兩個，GPY篩法2005年才在arxiv上出現，Bombieri，Friedlander和Iwaniec三人的論文則是在1987年才出現。
林燃在1965年要復現，不能直接用張益唐的結果，得先把前綴論文寫出來。
因此第一天 黑板上的公式不斷堆積，林燃說的很少，寫的很多，一直在走來走去。
黑板寫滿之后，往旁邊推。
寫滿一張推一張，事先讓哥廷根大學準備的就是移動黑板。
哥廷根大學也樂得如此，他們一張都不希望擦。
如果林燃真的能證明成功，這些都是數學系的圣遺物，傳承越久越有價值。
“好，我的核心思路梳理出來了。
我從可接受k元組開始。
這些k元組，這些整數對每個素數p至少有一個剩余類不被覆蓋，確保可能全為素數。
我的目標是證明，存在k，使得有無限多n，元組({nh_1，nh_2，\ldots，nh_k})中至少有兩個素數。這將意味著素數對的間隙有限。
我使用了Selberg篩法的變體，構造一個權重函數，檢測元組中至少有兩個素數的情況。
通過優化參數，我估計了滿足條件的n的數量。關鍵是確保主項大于誤差項。”
“誤差項的控制需要素數在算術級數中的分布知識。
我們要先允許平均模數至x{1/2}。
然后再對它進行增強，適用于平滑模數，擴展分布水平，這一步的處理是為了讓篩法能處理大k值。
通過這些工具，我證明對于足夠大的k，存在有限的N，使得有無限多素數對差不超過N。
然后我們先找到一個N，然后慢慢把這個N的值縮小，讓它最終等于2.”
林燃說完后臺下學者們的表情很嚴肅。
因為林燃提出的思路不是什么奇怪的思路，是非常正統的，和過去數學家們圍繞這個問題的思考沒有本質的區別。
只是林燃提到的方法，會有一些創新的地方。
如果單單只是這個思路，要解決孿生素數猜想，顯然是不夠的。
“我們現在開始第一步，先從解析數論開始動手，我們先要馬克·巴爾班的結果往前推。
先要證明對于x附近的特定Q，假若我們忽略對數項，則平均誤差可小至x的二分之一。
然后再把這個結果擴展，把模數從二分之一擴展到七分之四，使素數分布的誤差項控制在更大的模數下成立，適用于解析數論中的篩法問題。”
林燃開始，他寫的時候很安靜，只有在講解的時候才會說話。
說的很少。
寫著寫著臺下來自普林斯頓的數學系教授們人已經麻了。
因為林燃隨手寫的結果就是普林斯頓高等數學研究院今年要發表的大成果。
x取二分之一，在數學上，叫邦別里維諾格拉多夫定理；又稱邦別里定理，是解析數論上的一個主要成果，與在一系列模數上取平均值的算術數列中的質數分布相關。
這類結果最早在1961年由馬克·巴爾班取得，而邦別里—維諾格拉多夫定理則是巴爾班結果的細化 這一成果正好1965年，由普林斯頓的恩里科·邦別里和阿斯科爾德·維諾格拉多夫解決，所以叫邦別里維諾格拉多夫定理。
他們一直要到二十多年后的1987年，才把這個結果從二分之一推進到七分之四。
而林燃現在，現場就要把他們的結果順手證了，然后還要做到遠超他們的結果。
林燃越寫，來自普林斯頓的教授們臉就越黑。
因為林燃在二分之一這個結果，寫的無懈可擊，那么意味著他往后推到七分之四也大概率是對的。
這種挫敗感就像是你辛辛苦苦上躥下跳各種走位加大招才打掉的怪，別人隨手一發平A就給秒了。
打的比你快，打的姿勢還比你更優美。
“好，大家看到，我們這里已經完成了證明。
剛才證明了素數在算術級數中的分布可達到4/7的水平。
具體來說，它表明對于模數≤4/7，素數在算術級數(mod)（gcd(，)1中的分布誤差項可以被有效控制。
這一結果擴展了模數范圍，使篩法在更大范圍內適用。
這里的主要思考，其實是通過引入雙線性形式估計和分散化技術，克服了傳統方法的局限，提升了素數分布的分析能力。
我們為后續孿生素數猜想整體思路里的有限間隙奠定了基礎。”