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087章 高斯定理的估算
更新時間:2020-06-21 作者:術小城
我只想當一個安靜的學霸 087章 高斯定理的估算
“這位同學，請保持清醒，不要在考場上打瞌睡。”監考老師十分嚴肅的提醒沈奇。 “嗯，抱歉。”沈奇揉揉太陽穴，最近一段時間改奧數冠軍沈奇的數學技巧的稿子，改的他心力憔悴，沒怎么休息好。 “趕緊搞定最后一道計算題，搞完了回家補覺。”沈奇打起精神，仔細審題。 審完最后一道25分的計算題，沈奇終于有了幾分興趣：“就這最后一題，像是正規物理老師出的題。” 物理計算題大多配有示意圖，不配圖的物理題一般呈現兩種極端，一種是簡單的想打瞌睡，另一種是難的吊炸天。 初賽鎮宅之題的分值最高，25分，這道計算配有示意圖。 示意圖是一個圓，從圓心O到圓周七點鐘方位畫有一條虛線R，這條虛線R是圓的半徑。在圓心O旁邊不遠處有個小黑點mq。 本題的文字描述是： “如圖所示，電荷線密度為λ（λ＞0），半徑為R的均勻帶電圓環固定在光滑的水平絕緣桌面上。質量為m、電量為q的光滑小球，靜止放在桌面上與圓環中心O點非常接近的位置處。” “設圓環上電荷的分布不受小球電荷的影響，試判斷小球之后的運動是否為振動？” “若為振動，設小球初始位置與O點的距離r0＜＜R，試用適當的近似方法估算小球的振動周期T。” 估算與嚴格計算的區別在于，估算可以繞過復雜的數學演算，直接獲得正確的定性結論和比較接近的粗略定量結果。 就初賽最后一道計算題而言，小球的運動是振動還是非振動，沈奇必須給出定性結論，判斷不得有誤。這是第一步。 對于同一道物理題，如果采用估算方法，可選擇的途徑往往不止一條。 很明顯，這是道電磁學題目，沈奇在諸多種估算方法中，選擇靜電場高斯定理為依據開始答題。 沈奇作出一個輔助圖，取通過O點并與圓環平面垂直的軸為x軸。 在圓平面上以O點為圓心，作半徑為r的圓。 將此圓沿x軸的正負方向各延展l，一個圓柱面就此形成。 沈奇取此圓柱面為高斯面，因其中無電荷，根據高斯定理可得： ∯E*ds=0 高斯定理一祭出，真相越來越清晰。 帶正電的小球所受靜電力總是指向圓環中心O點，為恢復性保守力，小球的運動為振動，振動中心就是O點。 沈奇很快解決了第一問，這就是定性給結論，接受過物競培訓的學生應該都能給出正確的結論性判斷。 第二問要求沈奇估算小球的振動周期T，稍微麻煩一點點。 圓柱兩端面的電通量可以近似的用x軸上的電場強度來計算，沈奇作出計算： E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2 那么通過兩端面的電通量近似值就出來了： ∬兩端面E*ds≈E1*2πr^2 通過圓柱側面的電通量可以近似的用圓平面上與O點相距為r處的電場強度Er來計算，根據高斯定理可得： ∯圓柱面E*ds=∬兩端面E*ds+∬側面E*ds=0 那么帶電小球在r處所受靜電力為： Fr=qEr=-λq/4εR^2*r 考慮到線性恢復力，小球在它的作用下將繞O點做簡諧振動。 所以周期T=4πR根號εm/λq “搞定。”歷經CMO乃至IMO的洗禮，沈奇在學科競賽的賽場上已算一位經驗豐富的老將。 數競也好，物競也罷，競賽模式大同小異。 既然是老將，就不能驕傲自大、暴躁浮夸，必須時刻保持嚴謹的競賽作風。 沈奇檢查了一遍考卷，然后交卷，此時距開考過去了30多分鐘。 “這尼瑪？” “臥槽？” “這么早交卷？” “不停的寫，寫滿試卷也得30分鐘吧？” “這貨不用思考的？還是瞎幾把寫？” 同一考場的其他選手明顯受到沈奇交卷的影響，各自在心中高呼MMP。 雖然CPhO全國初賽的考卷不難，但這么早交卷也屬罕見。 物競圈子里也有眼尖的選手：“提前交卷這貨……莫非是沈奇？那個國際奧數競賽的冠軍？” 沈奇走到考場門口，阿嚏，忽然打了個噴嚏，脊梁骨竟冒出一絲寒意。 “誰在罵我？”沈奇猛然回頭，眼神犀利掃視眾選手。 “草！” 眾選手菊花亂顫，遂埋頭繼續答題。 “喂，交了卷請迅速離開考場。”監考老師催促沈奇，并快速審視沈奇的試卷，該寫的都寫滿了，有理有據，不像瞎蒙，這種情況允許提前兩個多小時交卷。 沈奇大步離去，在考場外見到了穆蓉。 “這……沈奇你也太快了吧？”穆蓉有些意外。 沈奇略顯從容：“一般一般，亞洲第三。” “那亞洲前二是誰？”穆蓉忍住不讓自己發笑。 沈奇一本正經的說到：“是校長和穆老師。” “哈哈。”穆蓉終于忍不住笑了起來，又覺得疑惑：“你這政治覺悟，政治考試不可能拿B吧？”她也聽說了，沈奇政治考試拿了個B，其余幾門都是A。 “哎，誰不曾年輕過，懵懂過。”沈奇一想起政治考試就不爽，黑歷史啊，無法抹去的污點。當然了，高二下學期之前沈奇黑歷史挺多的，既然無法抹去，那便坦然面對。 沈奇伸了個懶腰：“哈欠……好困，我要睡覺了。” “去吧，回家好好休息，辛苦了。”穆蓉沒有跟沈奇討論任何一題，沈奇的行動說明了一切。 初賽的閱卷工作將在一到兩周內完成，CPhO的復賽安排在四月中旬舉行。 第二天，沈奇在南港二中遇見了幾個校物競隊的隊友。 “我估完分，覺得能考個140？”物競隊的隊友林星宇說到。 “我錯了一道選擇題、兩道填空題，兩道計算題，初賽得分大概在120到130之間。”另一位隊友白玲燁說到。 “你呢沈奇大佬？”林星宇問到。 “我估計在200分左右？或許最后一道計算題某些步驟要扣掉一兩分，也說不準，不知道。”沈奇說到。 “牛！”林星宇對沈奇有種盲目的崇拜，200分就是滿分。 “完了完了，初賽晉級分數線被沈奇拉高了。”白玲燁苦哈哈的說到。 “白玲燁你數學怕是不及格哦。”林星宇說到，“全國那么多選手參賽，一個滿分就拉高分數線了？吐槽都不會，差評！” …… …… （昨天初二在親戚家喝大了，剛起床，腦殼疼，起來發一章存稿然后接著睡，今天估計碼不了幾個字，晚上還要去其他親戚家吃飯，在我老家過年，20歲以上的男人不喝酒是不被允許的。 接到起點的通知，3月1日上架，我得存點稿，今天估計存一章稿都難，所以只能更新一章。）我只想當一個安靜的學霸 087章 高斯定理的估算
“這位同學，請保持清醒，不要在考場上打瞌睡。”監考老師十分嚴肅的提醒沈奇。 “嗯，抱歉。”沈奇揉揉太陽穴，最近一段時間改奧數冠軍沈奇的數學技巧的稿子，改的他心力憔悴，沒怎么休息好。 “趕緊搞定最后一道計算題，搞完了回家補覺。”沈奇打起精神，仔細審題。 審完最后一道25分的計算題，沈奇終于有了幾分興趣：“就這最后一題，像是正規物理老師出的題。” 物理計算題大多配有示意圖，不配圖的物理題一般呈現兩種極端，一種是簡單的想打瞌睡，另一種是難的吊炸天。 初賽鎮宅之題的分值最高，25分，這道計算配有示意圖。 示意圖是一個圓，從圓心O到圓周七點鐘方位畫有一條虛線R，這條虛線R是圓的半徑。在圓心O旁邊不遠處有個小黑點mq。 本題的文字描述是： “如圖所示，電荷線密度為λ（λ＞0），半徑為R的均勻帶電圓環固定在光滑的水平絕緣桌面上。質量為m、電量為q的光滑小球，靜止放在桌面上與圓環中心O點非常接近的位置處。” “設圓環上電荷的分布不受小球電荷的影響，試判斷小球之后的運動是否為振動？” “若為振動，設小球初始位置與O點的距離r0＜＜R，試用適當的近似方法估算小球的振動周期T。” 估算與嚴格計算的區別在于，估算可以繞過復雜的數學演算，直接獲得正確的定性結論和比較接近的粗略定量結果。 就初賽最后一道計算題而言，小球的運動是振動還是非振動，沈奇必須給出定性結論，判斷不得有誤。這是第一步。 對于同一道物理題，如果采用估算方法，可選擇的途徑往往不止一條。 很明顯，這是道電磁學題目，沈奇在諸多種估算方法中，選擇靜電場高斯定理為依據開始答題。 沈奇作出一個輔助圖，取通過O點并與圓環平面垂直的軸為x軸。 在圓平面上以O點為圓心，作半徑為r的圓。 將此圓沿x軸的正負方向各延展l，一個圓柱面就此形成。 沈奇取此圓柱面為高斯面，因其中無電荷，根據高斯定理可得： ∯E*ds=0 高斯定理一祭出，真相越來越清晰。 帶正電的小球所受靜電力總是指向圓環中心O點，為恢復性保守力，小球的運動為振動，振動中心就是O點。 沈奇很快解決了第一問，這就是定性給結論，接受過物競培訓的學生應該都能給出正確的結論性判斷。 第二問要求沈奇估算小球的振動周期T，稍微麻煩一點點。 圓柱兩端面的電通量可以近似的用x軸上的電場強度來計算，沈奇作出計算： E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2 那么通過兩端面的電通量近似值就出來了： ∬兩端面E*ds≈E1*2πr^2 通過圓柱側面的電通量可以近似的用圓平面上與O點相距為r處的電場強度Er來計算，根據高斯定理可得： ∯圓柱面E*ds=∬兩端面E*ds+∬側面E*ds=0 那么帶電小球在r處所受靜電力為： Fr=qEr=-λq/4εR^2*r 考慮到線性恢復力，小球在它的作用下將繞O點做簡諧振動。 所以周期T=4πR根號εm/λq “搞定。”歷經CMO乃至IMO的洗禮，沈奇在學科競賽的賽場上已算一位經驗豐富的老將。 數競也好，物競也罷，競賽模式大同小異。 既然是老將，就不能驕傲自大、暴躁浮夸，必須時刻保持嚴謹的競賽作風。 沈奇檢查了一遍考卷，然后交卷，此時距開考過去了30多分鐘。 “這尼瑪？” “臥槽？” “這么早交卷？” “不停的寫，寫滿試卷也得30分鐘吧？” “這貨不用思考的？還是瞎幾把寫？” 同一考場的其他選手明顯受到沈奇交卷的影響，各自在心中高呼MMP。 雖然CPhO全國初賽的考卷不難，但這么早交卷也屬罕見。 物競圈子里也有眼尖的選手：“提前交卷這貨……莫非是沈奇？那個國際奧數競賽的冠軍？” 沈奇走到考場門口，阿嚏，忽然打了個噴嚏，脊梁骨竟冒出一絲寒意。 “誰在罵我？”沈奇猛然回頭，眼神犀利掃視眾選手。 “草！” 眾選手菊花亂顫，遂埋頭繼續答題。 “喂，交了卷請迅速離開考場。”監考老師催促沈奇，并快速審視沈奇的試卷，該寫的都寫滿了，有理有據，不像瞎蒙，這種情況允許提前兩個多小時交卷。 沈奇大步離去，在考場外見到了穆蓉。 “這……沈奇你也太快了吧？”穆蓉有些意外。 沈奇略顯從容：“一般一般，亞洲第三。” “那亞洲前二是誰？”穆蓉忍住不讓自己發笑。 沈奇一本正經的說到：“是校長和穆老師。” “哈哈。”穆蓉終于忍不住笑了起來，又覺得疑惑：“你這政治覺悟，政治考試不可能拿B吧？”她也聽說了，沈奇政治考試拿了個B，其余幾門都是A。 “哎，誰不曾年輕過，懵懂過。”沈奇一想起政治考試就不爽，黑歷史啊，無法抹去的污點。當然了，高二下學期之前沈奇黑歷史挺多的，既然無法抹去，那便坦然面對。 沈奇伸了個懶腰：“哈欠……好困，我要睡覺了。” “去吧，回家好好休息，辛苦了。”穆蓉沒有跟沈奇討論任何一題，沈奇的行動說明了一切。 初賽的閱卷工作將在一到兩周內完成，CPhO的復賽安排在四月中旬舉行。 第二天，沈奇在南港二中遇見了幾個校物競隊的隊友。 “我估完分，覺得能考個140？”物競隊的隊友林星宇說到。 “我錯了一道選擇題、兩道填空題，兩道計算題，初賽得分大概在120到130之間。”另一位隊友白玲燁說到。 “你呢沈奇大佬？”林星宇問到。 “我估計在200分左右？或許最后一道計算題某些步驟要扣掉一兩分，也說不準，不知道。”沈奇說到。 “牛！”林星宇對沈奇有種盲目的崇拜，200分就是滿分。 “完了完了，初賽晉級分數線被沈奇拉高了。”白玲燁苦哈哈的說到。 “白玲燁你數學怕是不及格哦。”林星宇說到，“全國那么多選手參賽，一個滿分就拉高分數線了？吐槽都不會，差評！” …… …… （昨天初二在親戚家喝大了，剛起床，腦殼疼，起來發一章存稿然后接著睡，今天估計碼不了幾個字，晚上還要去其他親戚家吃飯，在我老家過年，20歲以上的男人不喝酒是不被允許的。 接到起點的通知，3月1日上架，我得存點稿，今天估計存一章稿都難，所以只能更新一章。）我只想當一個安靜的學霸 087章 高斯定理的估算
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