三百三十四節 真或假

“第一個命題，是對‘這張卡片是奴隸’這一簡單命題的一種否定，合成方式是‘非’；第二個命題，由‘這張卡片是16歲以上的人’和‘這張卡片是男性’兩個簡單命題構成，合成方式是‘與’，也就是兩個簡單命題同時為‘真’時，復合命題為‘真’；而第三個命題，由‘這張卡片是原籍福建的人’和‘這張卡片是原籍海南的人’兩個簡單命題構成，合成方式是‘或’，也就是兩個簡單命題中的任意一個為‘真’時，復合命題為‘真’。”

“所以，我們有了聯結多個命題使之成為更大命題的三種手段，與，或，非。其實還有另外兩種，不過暫時與分類機的設計無關，這里先略過。”

“我們用符號來表示命題和聯結詞，則任何一項查詢，都能表示為一個表達式。顯然，令表達式為‘真’的卡片，就是我們要尋找的卡片。而分類機的作用，就是對所有卡片，判斷這個表達式是否為‘真’。”

“因此，凡是我們的分類機能夠判斷‘真/假’的表達式，就是我們能夠解決的問題，凡是我們的分類機無法判斷真假的表達式，就是我們不能解決的問題。”

“這就是我們對這一問題的初步抽象。”

馮諾在黑板上寫下了幾個奇怪的符號v（或）、∧（與）、┐（非），看起來像是旋轉了90度的大于號和小于號，還有倒過來的拉丁字母l。

“好，現在可以寫一下

‘原籍福建或海南的人’這一命題的表達式了，海南是100，福建是122，所以我們令

命題a：‘地區碼第1位為1’，

命題b：‘地區碼第2位為0’，

命題c：‘地區碼第3位為0’，

命題d：‘地區碼第2位為2’，

命題e：‘地區碼第3位為2’，

則，復合命題的表達式為：‘（a∧b∧c）v（a∧d∧e）’。”

“我們的分類機是如何判斷真假的呢？是通過檢驗穿孔卡是否穿孔，也就是說，分類機的每個讀卡單元，能夠判斷復合命題中的一個簡單命題的真假。同時，通過一個控制繼電器，我們可以讓每個讀卡單元，判斷僅有1個‘非’聯結詞的復合命題，也就是一個簡單命題的非命題的真假。”

“假如我們僅有1個讀卡單元，那么僅此而已。但是現在我們有10個讀卡單元，所以事情要復雜一些。不過仍然是可以分析的。請大家注意，每個讀卡單元側面的卡袋，裝入的卡片的特點：

k號卡袋中的卡片，是1k1號命題的‘非’命題的‘與’、再‘與’k號命題。

經過k號讀卡單元的剩余卡片，是滿足1k號所判斷的命題的‘非’命題的‘與’。

1k號卡袋里面的卡片，合起來是滿足1k號所判斷的命題的‘或’。

假設我們的讀卡單元所判斷的簡單命題（或簡單命題的非命題）為。

則我們所能夠判斷的命題表達式為：

1號卡袋：p1

2號卡袋：┐

3號卡袋：┐

4號卡袋：┐∧p4

10號卡袋：┐∧∧┐

最終剩余卡片：┐∧∧┐p10

最后由于這些卡片被彼此分開，所以我們最終可以自由選擇任意多個卡袋的卡片合在一起，也就是上述表達式之間的‘或’；其中最重要的，是從1k號的連續k個卡袋中的卡片合在一起，其結果為：p1vvpk，即以p1為開頭的連續‘或’運算；

而經過k號讀卡單元后機器上剩余的卡片，可表示為┐p1∧∧┐pk，即以┐p1為開頭的連續‘與’運算。”

“所以，凡是能變換成上述形式表達式的命題，就是分類機能夠查找的，否則，就是分類機不能查找的。”

“我給加奈出的問題，找出三亞大區除奴隸以外的卡片，可以分解成如下的簡單命題或簡單命題的非命題：

命題a：‘地區碼第1位不為1’，

命題b：‘地區碼第2位不為0’，

命題c：‘地區碼第3位不為0’，

命題d：‘地區碼第4位不為1’，

命題e：‘地區碼第5位為1’，

命題f：‘地區碼第5位不為2’

命題g：‘地區碼第6位不為9’

命題h：‘地區碼第7位不為9’

┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧e，這是10011，三亞榆林，它符合5號卡袋的表達式，所以這些卡片位于5號卡袋中，可以記為p5。

┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧28，三亞田獨公社，它符合7號卡袋的表達式，所以這些卡片位于7號卡袋中，可記為p7。

┐a∧┐b∧┐c∧┐d∧┐e∧┐f∧┐g∧298，三亞田獨公社，它符合8號卡袋的表達式，所以這些卡片位于8號卡袋中，可記為p8。

后兩者合起來，即p7vp8，是三亞田獨，但不包括奴隸。三者全部合起來，即p5vp7vp8，是我們所要的結果。因為這個表達式符合我們上面的形式，所以分類機可以解決。”

“而‘（a∧b∧c）v（a∧d∧e）’，無論我們怎樣變換，是不能變換成上述表達式的，因而是當前的分類機所不能解決的。”

“好，問題來了，怎樣變換表達式？”這時他看向了馮珊。

“這是0和1的布爾代數。”馮珊答道，她的眼睛里透出著迷的神色。

馮諾點點頭，錢羽之和李加奈此前已經完全不知所云了，不過聽到布爾代數，他們有點反應過來了。

馮諾只教過他倆最簡單的布爾代數，以至于他們以為布爾代數就是0和1的布爾代數。

“然后呢？”馮諾繼續引導。

“布爾代數是有補分配格！交運算是‘與’，并運算是‘或’，求補是‘非’，滿換律、結合律、吸收律，‘與’和‘或’彼此滿足分配律！01布爾代數還滿足冪等律！”

這是布爾代數的理論部分，錢羽之和李加奈又糊涂了。

“很好。”馮諾表揚了一句。

“不過，”他又補充說，“格的基本運算律只是‘與’和‘或’兩種運算之間的，包括交換律、結合律、吸收律、冪等律、分配律等等。在命題邏輯里，還要考慮‘非’的性質，這里我暫時只說兩點：其一，雙重否定律，很顯然，命題的非命題的非命題，是其自身。其表達式的形式是——”

馮諾在黑板上寫下：

“其二，德……唉，就叫‘與或轉換律’吧，兩個命題的合取的非，是兩個命題的非的析取；兩個命題的析取的非，是兩個命題的非的合取。其表達式的形式是——”

他又寫下：

“我舉兩個例子你們就明白了，‘不是16歲以上的男人’，也就意味著是‘16歲以下的人’或‘女人’；‘不是原籍海南或福建的人’，也就意味著‘不是原籍海南的人’并且‘不是原籍福建的人’。”

然后他繼續說道，“根據這些運算律，可以把邏輯命題的表達式變換成各種形式，不過，一般我們會變換成連續‘與’的‘或’，或者連續‘或’的‘與’，稱為析取范式和合取范式。”

“好，有了理論工具，我們就能夠發現，目前分類機在設計上存在局限性。如果分類機能夠處理一般的析取范式或者合取范式，就不存在從設計上無法解決的問題了。——比如‘找出原籍福建或海南的人’。”

“這就要求我們的每個讀卡單元，不是僅能判斷一個簡單命題的真假，而是能夠判斷多個簡單命題構成的合取項或者析取項的真假。反映在分類機設計上，就是把讀卡單元目前僅包括1個工作繼電器和1個控制繼電器的簡單電路，改造成包含多個繼電器的開關電路。”

“羽之，你這段時間已經很熟悉電路了。你來組裝一個有兩個開關和一個燈泡的電路，要求‘只有2個開關都閉合，燈泡才亮’。”

馮諾指了指一旁的工作臺。工作臺上有一大堆導線、繼電器、燈泡和開關，臺下放著兩個笨重的鐘式電池，萬用表和其他幾種儀器則被丟在工作臺的角落里。

錢羽之熟練地來到工作臺前忙活起來，他首先從電池的正負極引出了導線，然后把燈泡連入電路，燈泡亮了。接著，他把兩個開關用導線連起來，又和燈泡、電池連在了一起。

馮諾讓三名學生都去試一下，是不是只有2個開關都閉合時，燈泡才亮，如果有任意1個開關是斷開的，燈泡就熄滅。

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